Zeige, dass die Polynomdivisionen dieser Aufgabengruppe nicht aufgehen. Gib für jede der zu den Polynomdivisionen gehörenden gebrochenrationalen Funktion deren asymptotisches Verhalten im Unendlichen an.
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Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt.
Nun folgt die Asymptotenberechnung für .
Dem Quotient entspricht die gebrochenrationale Funktion
Die Polynomdivision hat f(x) in die Differenz aus dem Polynom ersten Grades und der echtgebrochenrationalen Funktion zerlegt.
Bringe auf die linke Seite der Gleichung.
Für jede echtgebrochenrationale Funktion gilt:
Damit unterscheiden sich und für gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die Gerade ist deshalb die Asymptote von für gegen plus/minus Unendlich.
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Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner dem Teilergebnis hinzugefügt.
Nun folgt die Asymptotenberechnung für .
Dem Quotienten entspricht die gebrochenrationale Funktion
Die Polynomdivision hat in die Summe aus der linearen Funktion und die echtgebrochenrationale Funktion zerlegt.
Bringe auf die linke Seite der Gleichung.
Für jede echtgebrochenrationale Funktion gilt
Damit unterscheidet sich von für gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die Gerade ist somit die Asymptote von für gegen plus/minus Unendlich.
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Die Polynomdivision "geht nicht auf".
Der Grad des verbleibenden Restpolynoms des Dividenden ist kleiner als der Grad des Divisors und es wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt
Nun folgt die Asymptotenberechnung für .
Dem Quotienten entspricht die gebrochenrationale Funktion
Die Polynomdivision hat in die Summe der linearen Funktion und eine echtgebrochenrationale Funktion zerlegt.
Bringe auf die linke Seite der Gleichung.
Für jede echtgebrochenrationale Funktion gilt
Damit unterscheidet sich von für gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die Gerade ist somit die Asymptote der Funktion für gegen plus/minus Unendlich.
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Vorbereitung der Polynomdivision:
Ordne sowohl das Polynom des Dividenden als auch das Polynom des Divisors nach fallenden Potenzen.
Polynomdivision:
ausführliche Polynomdivision mit den fehlenden Gliedern im Dividenden
Nun folgt die Asymptotenberechnung für .
Dem Quotienten entspricht die gebrochenrationale Funktion
.
Die Polynomdivision hat in die Summe aus dem Polynom 2. Grades und die echt gebrochenrationale Funktion r(x) mit dem Zählergrad 1 und dem Nennergrad 2 zerlegt.
Bringe auf die linke Seite der Gleichung.
Für jede echtgebrochenrationale Funktion gilt:
Damit unterscheiden sich und für x gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.
Die nach unten geöffnete Parabel ergibt die asymptotische Kurve von für x gegen plus/minus Unendlich.
